Question

3．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点E是BA延长线上一点，点F是线段AD上一点，FE=FC．下列结论：
①∠AEF+∠DCF=30°；②△EFC是等边三角形；③AC=AE+AF；④S_△ABC=S_{四边形AECF}．
请你把正确结论的番号都填上①②③④ （少填一个扣1分，填错一个该题得0分）

Answer 1

分析 ①连接FB，根据AD⊥BC，AB=AC，可知AD是CB中垂线，即可证明FB=FC，即可得FB=FC=FP，根据等边对等角，等量代换得到结论；
②根据三角形的内角和得到∠AEC+∠DCE+∠EBC=180°，求得∠AEC+∠DCE=150°，求得∠EFC=180°-（∠FEC+∠FCE）=60°，于是得到△EFC是等边三角形；
③首先在AC上截取AE=GA，易得△AEG是等边三角形，继而利用证得△FEA≌△CEG，即可得AC=AF+AE；
④过点C作CH⊥AB于H，易得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH，S_{四边形AFCE}=S_△ACE+S_△AFC=$\frac{1}{2}$AE•CH+$\frac{1}{2}$FA•CD=$\frac{1}{2}$AE•CH+$\frac{1}{2}$FA•CH=$\frac{1}{2}$CH•（AE+FA）=$\frac{1}{2}$CH•AC，即可得S_△ABC=S_{四边形AFCE}．

解答 解：①如图1连接FB，
∵在等腰△ABC中AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴FB=FC，
∴∠1=∠FCD，
∵FE=FC，
∴FB=FE，
∴∠2=∠FEA，
∵∠1+∠2=30°，
∴∠FCD+∠FEA=30°，
故①正确；
②如图2∵∠AEC+∠DCE+∠EBC=180°，
∴∠AEC+∠DCE=150°，
∵∠AEF+∠DCF=30°，
∴∠FEC+∠FCE=120°，
∴∠EFC=180°-（∠FEC+∠FCE）=60°，
∵FE=FC，
∴△EFC是等边三角形；故②正确；
③如图3在AC上截取AG=EA，
∵∠EAG=180°-∠BAC=60°，
∴△AEG是等边三角形，
∴∠EGA=∠AEG=60°，EG=EA，
∴∠AEF+∠FEG=60°，
∵∠FEG+∠CEG=∠CEF=60°，
∴∠AEF=∠CEG，
∵FE=CE，
在△OPA和△CPE中，$\left\{\begin{array}{l}{EA=EM}\\{∠AEF=∠CEM}\\{FE=CE}\end{array}\right.$，
∴△FEA≌△CEG（SAS），
∴AF=CG，
∴AC=AG+CG=AF+AE；
故③正确；
④如图4过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH，S_{四边形AFCE}=S_△ACE+S_△AFC=$\frac{1}{2}$AE•CH+$\frac{1}{2}$FA•CD=$\frac{1}{2}$AE•CH+$\frac{1}{2}$FA•CH=$\frac{1}{2}$CH•（AE+FA）=$\frac{1}{2}$CH•AC，
∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_{四边形AFCE}．
故④正确．
故答案为：①②③④．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形外接圆的知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．