Question

8．如图1，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以D为顶点作∠MDN=∠C．
（1）观察发现：当射线DM经过点A时，DN交AB于点E，不添加任何辅助线，请填空：与△ADE相似的三角形是△ABD，△ACD，△BDE．
（2）探究表明：如图2，将∠MDN绕点D沿顺时针方向旋转，DN、DM分别交线段AB、AC于E、F两点（点E与点A不重合），不添加辅助线，证明：△BDF∽△DEF．
（3）结论运用：在图2中，若AB=AC=10，BC=12，当△ABC的面积为△DEF面积的4倍时，直接写出线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，根据两角对应相等的两个三角形相似解答即可；
（2）根据两组对边成比例、夹角相等的两个三角形相似，证明△CED∽△DEF，得到△BDF∽△DEF；
（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，根据相似和三角形的面积公式列式计算即可．

解答 （1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDB，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△BDE，
∴△ADE∽△BDE，
（2）证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
又∵∠EDF=∠B，
∴∠BFD=∠CDE，
由AB=AC，得∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED，
∴$\frac{BD}{DF}$=$\frac{EC}{DE}$．
∵BD=CD，
∴$\frac{CD}{DF}$=$\frac{EC}{DE}$．
又∵∠C=∠EDF，
∴△CED∽△DEF
∴△BDF∽△DEF．  
（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．

∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=$\frac{1}{2}$BC=6．
在Rt△ABD中，AD²=AB²-BD²，
∴AD=8
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×12×8=48．
S_△DEF=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$×48=12．
又∵$\frac{1}{2}$AD×BD=$\frac{1}{2}$AB×DH，
∴DH=$\frac{AD•BD}{AB}$=$\frac{8×6}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD   
∵DG⊥EF，DH⊥BF，
∴DH=DG=$\frac{24}{5}$．
∵S_△DEF=$\frac{1}{2}$×EF×DG=12，
∴EF=5．

点评 本题考查的是三角形相似的判定和性质，灵活运用判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的运用．