Question

16．如下列各图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、BC、CA为边向外作半圆、正三角形、等腰直角三角形等，面积分别为S₁、S₂、S₃．

（1）在图1中，S₁、S₂、S₃有什么关系？写出关系式：S₂+S₃=S₁．
（2）探索图2、图3、图4中S₁、S₂、S₃是否有同样的规律？选一个作出证明．
（3）在图4中，若BC=4，AC=5，求S₁+S₂+S₃．

Answer 1

分析 （1）由扇形的面积公式可知S₁=$\frac{1}{8}$π•AB²，S₂=$\frac{1}{8}$π•BC²，S₃=$\frac{1}{8}$π•AC²，在Rt△ABC中，由勾股定理得BC²+AC²=AB²，即S₂+S₃=S₁；
（2）根据（1）中的求解即可得出答案；
（3）利用（2）中的结论进行求解．

解答 解：（1）∵S₁=$\frac{1}{8}$π•AB²，S₂=$\frac{1}{8}$π•BC²，S₃=$\frac{1}{8}$π•AC²，
根据勾股定理可知AB²=BC²+AC²，
∴S₂+S₃=S₁；

（2）图2、图3、图4中S₁、S₂、S₃有同样的规律：S₂+S₃=S₁．
如图3，∵S₁=$\frac{1}{2}$AB²，S₂=$\frac{1}{2}$BC²，S₃=$\frac{1}{2}$AC²，
根据勾股定理可知AB²=BC²+AC²，
∴S₂+S₃=S₁；

（3）如图4，∵三个三角形都是正三角形，
∴S₂=$\frac{1}{2}$×4×（4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=4$\sqrt{3}$，
S₃=$\frac{1}{2}$×5×（5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{25}{4}$$\sqrt{3}$，
∴S₁=4$\sqrt{3}$+$\frac{25}{4}$$\sqrt{3}$=$\frac{41}{4}$$\sqrt{3}$，
∴S₁+S₂+S₃=$\frac{41}{4}$$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$+$\frac{25}{4}$$\sqrt{3}$=$\frac{41}{2}$$\sqrt{3}$．
故答案为：S₂+S₃=S₁．

点评 该题主要考查了勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．