Question

19．如图，直线y=$\frac{4}{3}$x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．
（1）求证：AB、CD互相平分．
（2）动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度，沿AO、OC向点C作匀速运动，设点P运动的时间为t秒，在动点P从A出发的同时，动点Q从C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿CM向点M作匀速运动，当P，Q中的一点到达终点后，该点停止运动，另一点继续运动，直至到达终点，整个运动停止，问：是否存在这样的t，使得直线PQ将四边形AOCM的面积分成1：3两部分？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点A、B的坐标，由C为OB的中点，得出M为AB的中点，再求出CM为△OAB的中位线，得出CM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$CD=3，M为CD的中点，即可得出结论；
（2）分三种情况：①当0＜t＜3时，由题意得出关于t的方程，解方程即可；
②当t=3时，由△MOC的面积=$\frac{1}{2}$×3×4=6≠18×$\frac{1}{4}$，得出t≠3；
③当3＜t≤5时，Q停止运动，OP=2t-6，得出CP=10-2t，由△MCP的面积=$\frac{1}{2}$×3×（10-2t）=$\frac{1}{4}$×18，解方程即可．

解答 （1）证明：对于直线y=$\frac{4}{3}$x+8，
当x=0时，y=8；当y=0时，x=-6；
∴A（-6，0），B（0，8），OA=6，OB=8，
∵四边形AOCD是矩形，
∴OA∥CD，CD=OA=6，
∵点C为OB的中点，
∴M为AB的中点，
∴CM为△OAB的中位线，
∴CM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$CD=3，
∴M为CD的中点，
∴AB、CD互相平分；
（2）解：存在；
梯形AOCM的面积=$\frac{1}{2}$（3+6）×4=18；
分三种情况讨论：
①当0＜t＜3时，如图1所示：
若梯形APQM的面积=$\frac{1}{2}$（2t+3-t）×4=18×$\frac{1}{4}$，
解得：t=-$\frac{3}{4}$，不合题意，舍去；
若梯形APQM的面积=$\frac{1}{2}$（2t+3-t）×4=18×$\frac{3}{4}$，
解得：t=$\frac{15}{4}$，不合题意，舍去；
②当t=3时，∵△MOC的面积=$\frac{1}{2}$×3×4=6≠18×$\frac{1}{4}$，
∴t≠3；
③当3＜t≤5时，如图2所示：
Q停止运动，OP=2t-6，
∴CP=4-（2t-6）=10-2t，
当△MCP的面积=$\frac{1}{2}$×3×（10-2t）=$\frac{1}{4}$×18时，
解得：t=$\frac{7}{2}$，符合题意；
综上所述：当t=$\frac{7}{2}$时，直线PQ将四边形AOCM的面积分成1：3两部分．

点评 本题是一次函数综合题，考查了一次函数点的坐标特征、三角形中位线的性质、梯形面积的计算、三角形面积的计算、解方程等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要进行分类讨论，才能得出结果．