Question

如图，OA和OB是⊙O的半径，OB=2，OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．
（Ⅰ）求证：RP=RQ；
（Ⅱ）若OP=PQ，求PQ的长．

Answer 1

解：（1）连接OQ，
∵QR是切线，
∴∠OQR=90°，
∴∠BQO+∠PQR=90°，
∵OA⊥OB，∴∠BOA=90°，
∴∠B+∠BPO=90°，又∠BPO=∠RPQ，
∴∠B+∠RPQ=90°，
由OB=OQ得：∠B=∠BQO，
∴∠RPQ=∠RQP，
∴PR=QR；

（2）∵OP=PQ，∴∠POQ=∠PQO，
又OB=OQ，∴∠B=∠PQO，
设∠B=∠PQO=∠POQ=x，又∠BOP=90°，
根据三角形内角和定理得：
∠B+∠BOP+∠POQ+∠PQO=180°，即x+90°+x+x=180°，
解得：x=30°，即∠B=30°（2分）
∴∠RPQ=∠BPO=60°，又PR=QR，
∴△PQR为等边三角形，即PQ=QR=PR，
在直角三角形OQR中，OQ=OB=2，
根据锐角三角函数定义得：
．（2分）
分析：（1）连接OQ，由QR为圆O的切线，得到∠OQR为90°，即∠OQB+∠PQR=90°，由OA与OB垂直，根据垂直的定义得到∠BOA=90°，所以∠B+∠BPO=90°，再根据对顶角相等及等角的余角相等，得到∠RPQ=∠RQP，根据“等角对等边”得证；
（2）根据OP=PQ，由“等边对等角”得到∠POQ=∠PQO，又根据半径OB=OQ，再根据“等边对等角”得到∠B=∠BQO，在三角形OBQ中，由∠BOA为直角，设出∠B=∠PQO=∠POQ=x，根据三角形的内角和定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为∠B的度数，进而求出∠QOR的度数，在直角三角形OQR中，根据30°的正切函数定义，由OQ=OB=2，即可求出QR的值，又∠RPQ=∠BPO=60°，PR=QR，所以三角形PRQ为等边三角形，所以PQ=QR，得到PQ的长．
点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．学生做第二问时，求出∠B的度数是解题的关键．