Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5

3

，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，由已知条件求证；
（2）求得四边形AEFD为平行四边形，若使?AEFD为菱形则需要满足的条件及求得；
（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得．
②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，则得∠ADE=∠DEF=90°，求得AD=AE•cos60°列式得．
③∠EFD=90°时，此种情况不存在．

解答：（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF．
（2）解：能．理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵AB=BC•tan30°=5

3

×

3

3

=5，
∴AC=2AB=10．
∴AD=AC-DC=10-2t．
若使?AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=10-2t，t=

10

3

．
即当t=

10

3

时，四边形AEFD为菱形．
（3）解：①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE．
即10-2t=2t，t=

5

2

．
②∠DEF=90°时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°．
∵∠A=90°-∠C=60°，
∴AD=AE•cos60°．
即10-2t=

1

2

t，t=4．
③∠EFD=90°时，此种情况不存在．
综上所述，当t=

5

2

秒或4秒时，△DEF为直角三角形．

点评：本题考查了菱形的性质，考查了菱形是平行四边形，考查了菱形的判定定理，以及菱形与矩形之间的联系．难度适宜，计算繁琐．