Question

如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB
（1）求证：mn=-6；
（2）当S_△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式．

Answer 1

分析：（1）根据三角形相似的判定得出△OBC∽△AOD，再利用相似三角形的性质得出比例式，进而表示出BC=1，AD=6，CO=-n，DO=m，求出即可；
（2）利用三角形面积得出S_梯形ABCD-S_△OBC-S_△AOD进而求出A，B两点的坐标，利用函数性质得出一般式，代入求出即可．

解答：（1）证明：作BC⊥x轴，AD⊥x轴，垂足分别为C，D．
∵OA⊥OB，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠AOD=∠OBC，
∴△OBC∽△AOD，
∴

BC

DO

=

CO

AD

∵点A（m，6），B（n，1），
∴BC=1，AD=6，CO=-n，DO=m，
∴

1

m

=

-n

6

，
∴mn=-6；

（2）解：∵S_△AOB=10，
∴S_梯形ABCD-S_△OBC-S_△AOD=

1

2

（1+6）×（-n+m）-

1

2

（-n）-

1

2

×6m=10，
∴-6n+m=20，
∴m=20+6n，
∵mn=-6；
∴n（20+6n）=-6，
整理得：3n²+10n+3=0，
解得：n=-3或-

1

3

，
∵0＜m＜3，当n=-

1

3

时，m=18不合题意舍去，
∴n=-3，m=2，
∵抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，
∴假设二次函数解析式为：y=ax²+c．
将A（2，6），B（-3，1）分别代入得：

6=4a+c 1=9a+c

，
解得：

a=-1 c=10

，
∴二次函数的关系式为：y=-x²+10．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式等知识，利用已知得出利用三角形的面积得出A，B两点坐标是解决问题的关键．