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如图1,过点A(0,4)的圆的圆心坐标为C(2,0),B是第一象限圆弧上的一点,且BC⊥AC,抛物线经过C、B两点,与x轴的另一交点为D。

(1)点B的坐标为(              ),抛物线的表达式为       .
(2)如图2,求证:BD//AC;
(3)如图3,点Q为线段BC上一点,且AQ=5,直线AQ交⊙C于点P,求AP的长。
(1)(6,2)(2)见解析(3)8
解:(1)(6,2);
(2)证明:令,即,解得x=2或x=7。
∴D(7,0)。
∴BC=AC=,BD=,CD=5。∴
∴∠CBD=900,即BD⊥BC。
又∵ AC⊥BC,∴BD//AC。

(3)连接AB,BP,
∵AC⊥BC,BC=AC=
∴∠ACB=900,∠ABC=450,∠APB=∠ACB=450,AB=
∴∠ABQ=∠APB。
又∵∠BAQ=∠PAB,∴△ABQ∽△APB。
,即,解得AP=8。

(1)过点B作BE⊥x轴于点E,易证△AOC≌△CEB(AAS),则
CE=AO=4, BE=CO=2,OE=6,∴B(6,2)。
将B(6,2),C(2,0)代入,得
,解得
∴抛物线的表达式为
(2)应用勾股定理求出BC,BD和CD的长,根据勾股定理逆定理得∠CBD=900,即BD⊥BC,从而由AC⊥BC,得到BD//AC。
(3)连接AB,BP,通过证明△ABQ∽△APB得求解。
别解:
①过点C作CH⊥AQ于点H,由垂径定理和射影定理求解。
②由勾股定理求得延长BC交⊙O于点R,由相交弦定理求解。
练习册系列答案
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(1)求这条抛物线所对应的函数关系式.
(2)求点C在这条抛物线上时m的值.
(3)将线段CN绕点N逆时针旋转90°后,得到对应线段DN.
①当点D在这条抛物线的对称轴上时,求点D的坐标.
②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE,当点E在这条抛物线的对称轴上时,直接写出所有符合条件的m值.
(参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为

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(4)若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似,求MB•MD的值.

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