Question

如图：已知a为正常数，F₁（-

a2+20

，0），F₂（

a2+20

，0），过F₂作直线l，点A，B在直线l上，且满足AF₁-AF₂=BF₁-BF₂=2a，M，N分别为△AF₁F₂，△BF₁F₂的内切圆的圆心．
（1）设⊙M与F₁F₂相切于点P₁，⊙N与F₁F₂切于点P₂，试判断P₁与P₂的位置关系，并加以证明；
（2）已知sin∠BF₂F₁=

8

9

，且MN=

9

2

，试求a的值．

Answer 1

分析：（1）解题的关键是能够根据切线长定理把其中的线段进行转换；
（2）结合（1）中的结论，根据两圆相切的性质得到三点共线，充分利用切线的性质构造一个直角梯形．作另一高，根据锐角三角函数的概念求得NH，即DE的长．再根据切线长定理以及（1）的结论，得到F₁F₂的关于a的关系式，再结合已知条件得到关于a的方程，列方程求解．

解答：解：（1）P₁与P₂重合．
证明：由题意得AC=AD，
∵AF₁-AF₂=2a，
∴CF₁-DF₂=2a；
又∵F₁C=F₁P₁F₂D=F₂P₁，
∴P₁F₁-P₁F₂=2a，
同理P₂F₁-P₂F₂=2a，
∴P₁与P₂重合．

（2）由（1）知：MP₁⊥F₁F₂，NP₂⊥F₁F₂，P₁，P₂重合．
∴M，P₁，N共线，且MN⊥F₁F₂，
连接MN，NE，MD，则∠NED=∠MDE=90°
过N作NH⊥MD，H为垂足；
∵∠MP₁F₂=∠MDF₂=90°，∠HMN=∠BF₂F₁，
∴sin∠HMN=sin∠BF₂F₁=

8

9

，
又MN=

9

2

，
∴NH=MNsin∠HMN=4，
∴ED=4；
而DF₂=F₂P₁=F₂E，
∴F₂P₁=2，
又由（1）P₁F₁-P₁F₂=2a，
∴P₁F₁=2+2a，
∴P₁F₁+P₁F₂=2+2+2a=2

a2+20

，
解得a=4．

点评：此题综合运用了切线长定理、锐角三角函数的概念和两圆相切的性质．