【答案】
分析:(1)解题的关键是能够根据切线长定理把其中的线段进行转换;
(2)结合(1)中的结论,根据两圆相切的性质得到三点共线,充分利用切线的性质构造一个直角梯形.作另一高,根据锐角三角函数的概念求得NH,即DE的长.再根据切线长定理以及(1)的结论,得到F
1F
2的关于a的关系式,再结合已知条件得到关于a的方程,列方程求解.
解答:解:(1)P
1与P
2重合.
证明:由题意得AC=AD,
∵AF
1-AF
2=2a,
∴CF
1-DF
2=2a;
又∵F
1C=F
1P
1F
2D=F
2P
1,
∴P
1F
1-P
1F
2=2a,
同理P
2F
1-P
2F
2=2a,
∴P
1与P
2重合.
(2)由(1)知:MP
1⊥F
1F
2,NP
2⊥F
1F
2,P
1,P
2重合.
∴M,P
1,N共线,且MN⊥F
1F
2,
连接MN,NE,MD,则∠NED=∠MDE=90°
过N作NH⊥MD,H为垂足;
∵∠MP
1F
2=∠MDF
2=90°,∠HMN=∠BF
2F
1,
∴sin∠HMN=sin∠BF
2F
1=
,
又MN=
,
∴NH=MNsin∠HMN=4,
∴ED=4;
而DF
2=F
2P
1=F
2E,
∴F
2P
1=2,
又由(1)P
1F
1-P
1F
2=2a,
∴P
1F
1=2+2a,
∴P
1F
1+P
1F
2=2+2+2a=2
,
解得a=4.
点评:此题综合运用了切线长定理、锐角三角函数的概念和两圆相切的性质.