Question

在直角坐标系中，函数（x＞0，k为常数）的图象经过A（4，1），点B（a，b）（0＜a＜4）是双曲线上的一动点，过A作AC⊥y轴于C，点D是坐标系中的另一点．
（1）求双曲线的解析式；
（2）当四边形ABCD为菱形时，试求B、D的坐标；
（3）若以A、B、C、D为顶点的平行四边形的面积为12，那么对角线最长可达多少？

Answer 1

解：（1）∵x=4，y=1，
∴，
∴k=4，
则

（2）如图1，当四边形ABCD是菱形时，BD垂线平分AC于E，
则可得a=2，b=2，即：B（2，2），
又∵BE=ED=1，BD⊥x轴，
∴D（2，0）

（3）如图2，过B作BF⊥AC于F，
当平行四边形ABCD面积为12时，BF•AC=12，
∴BF=3，即b=4．
把y=4代入得，x=1，则B（1，4）．
设BD交AC于P，PC=AP=2，CF=PF=1，
∴PB²=3²+1²=10，
∴，，
当四边形AD₁BC面积为12时，过D₁作D₁M⊥CA于M，D₁M=BF=3，CF=AM=1，CD₁²=5²+3²=34，
∴．
当平行四边形ABD₂C的面积为12时，
过D₂作D₂N⊥直线AC于N，CN=AF=3，D₂N=BF=3，AN=7．
∴AD₂²=7²+3²=58，，

，
∴对角线最长可达．　
分析：（1）直接将A点的坐标导入函数式中即可得出k的值，即可得出解析式；
（2）利用菱形的性质，可得出B点的坐标，再利用BE=ED，即可得出D点的坐标；
（3）结合题意，过点B作BF⊥AC于点F，可先将反比例函数式求解出，利用勾股定理得出PB；同时过点D₁作D₁M⊥CA于M，可得出CD₁的长；过D₂作D₂N⊥直线AC于N，并得出AD₂的长，分别比较BP、CD₁和AD₂的大小即可．
点评：本题主要考查了反比例函数的综合应用以及平行四边形的面积等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．