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材料一:在平面直角坐标系中,如果已知A,B两点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2),设AB=t,那么我们可以通过构造直角三角形用勾股定理得出结论:(x1-x22+(y1-y22=t2
材料二:根据圆的定义,圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合(其中定点为圆心,定长为半径).如果把圆放在平面直角坐标系中,我们设圆心坐标为(a,b),半径为r,圆上任意一点的坐标为(x,y),那么我们可以根据材料一的结论得出:(x-a)2+(y-b)2=r2,这个二元二次方程我们把它定义为圆的方程.比如:以点(3,4)为圆心,4为半径的圆,我们可以用方程(x-3)2+(y-4)2=42来表示.事实上,满足这个方程的任意一个坐标(x,y),都在已知圆上.
认真阅读以上两则材料,回答下列问题:
(1)方程(x-7)2+(y-8)2=81表示的是以______为圆心,______为半径的圆的方程.
(2)方程x2+y2-2x+2y+1=0表示的是以______为圆心,______为半径的圆的方程; 猜想:若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)表示的是一个圆的方程,则D,E,F要满足的条件是______.
(3)方程x2+y2=4所表示的圆上的所有点到点(3,4)的最小距离是______(直接写出结果).
【答案】分析:(1)根据已知条件直接得出方程(x-7)2+(y-8)2=81表示的圆心以及半径即可;
(2)利用配方法结合(1)中求法得出答案即可,利用配方后式子大于0进而得出D,E,F要满足的条件;
(3)利用以上所求以及勾股定理得出最小值即可.
解答:解:(1)∵以点(3,4)为圆心,4为半径的圆,我们可以用方程(x-3)2+(y-4)2=42来表示,
∴方程(x-7)2+(y-8)2=81表示的是以(7,8)为圆心,=9为半径的圆的方程;

(2)∵x2+y2-2x+2y+1=0可以整理为:(x-1)2+(y+1)2=12
∴方程x2+y2-2x+2y+1=0表示的是以(1,-1)为圆心,1为半径的圆的方程;
∵方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)表示的是一个圆的方程,
∴上式可以整理为:(x+2+(x+2=+-F,
+-F>0,即D2+E2-4F>0,
则D,E,F要满足的条件是:D2+E2-4F>0;

(3)∵方程x2+y2=4所表示的圆的圆心为(0,0),半径为2,
B点坐标为(3,4),
∴BO==5,
∴圆上的所有点到点(3,4)的最小距离是:BC=CO=5-2=3,
故答案为:(7,8),9;:(1,-1),1,D2+E2-4F>0;3.
点评:此题主要考查了新定义和勾股定理以及配方法应用等知识,利用圆的方程得出圆心以及半径是解题关键.
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科目:初中数学 来源: 题型:

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认真阅读以上两则材料,回答下列问题:
(1)方程(x-7)2+(y-8)2=81表示的是以
(7,8)
(7,8)
为圆心,
9
9
为半径的圆的方程.
(2)方程x2+y2-2x+2y+1=0表示的是以
(1,-1)
(1,-1)
为圆心,
1
1
为半径的圆的方程; 猜想:若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)表示的是一个圆的方程,则D,E,F要满足的条件是
D2+E2-4F>0
D2+E2-4F>0

(3)方程x2+y2=4所表示的圆上的所有点到点(3,4)的最小距离是
3
3
(直接写出结果).

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(2013•西城区一模)先阅读材料,再解答问题:
小明同学在学习与圆有关的角时了解到:在同圆或等圆中,同弧(或等弧)所对的圆周角相等.如图,点A、B、C、D均为⊙O上的点,则有∠C=∠D.小明还发现,若点E在⊙O外,且与点D在直线AB同侧,则有∠D>∠E.
请你参考小明得出的结论,解答下列问题:

(1)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,7),点B的坐标为(0,3),点C的坐标为(3,0).
①在图1中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹,不写作法);
②若在x轴的正半轴上有一点D,且∠ACB=∠ADB,则点D的坐标为
(7,0)
(7,0)

(2)如图2,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,m),点B的坐标为(0,n),其中m>n>0.点P为x轴正半轴上的一个动点,当∠APB达到最大时,直接写出此时点P的坐标.

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(2012•门头沟区一模)阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为DC、BC边上的点,∠EAF=45°,连接EF,求证:DE+BF=EF.

小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上.他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法,发现通过旋转可以解决此问题.他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG(如图2),此时GF即是DE+BF.
请回答:在图2中,∠GAF的度数是
45°
45°

参考小伟得到的结论和思考问题的方法,解决下列问题:
(1)如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(AD>BC),∠D=90°,AD=CD=10,E是CD上一点,若∠BAE=45°,DE=4,则BE=
58
7
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7

(2)如图4,在平面直角坐标系xOy中,点B是x轴上一动点,且点A(-3,2),连接AB和AO,并以AB为边向上作正方形ABCD,若C(x,y),试用含x的代数式表示y,则y=
x+1
x+1

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