材料一:在平面直角坐标系中,如果已知A,B两点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2),设AB=t,那么我们可以通过构造直角三角形用勾股定理得出结论:(x1-x2)2+(y1-y2)2=t2
材料二:根据圆的定义,圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合(其中定点为圆心,定长为半径).如果把圆放在平面直角坐标系中,我们设圆心坐标为(a,b),半径为r,圆上任意一点的坐标为(x,y),那么我们可以根据材料一的结论得出:(x-a)2+(y-b)2=r2,这个二元二次方程我们把它定义为圆的方程.比如:以点(3,4)为圆心,4为半径的圆,我们可以用方程(x-3)2+(y-4)2=42来表示.事实上,满足这个方程的任意一个坐标(x,y),都在已知圆上.
认真阅读以上两则材料,回答下列问题:
(1)方程(x-7)2+(y-8)2=81表示的是以______为圆心,______为半径的圆的方程.
(2)方程x2+y2-2x+2y+1=0表示的是以______为圆心,______为半径的圆的方程; 猜想:若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)表示的是一个圆的方程,则D,E,F要满足的条件是______.
(3)方程x2+y2=4所表示的圆上的所有点到点(3,4)的最小距离是______(直接写出结果).
【答案】
分析:(1)根据已知条件直接得出方程(x-7)
2+(y-8)
2=81表示的圆心以及半径即可;
(2)利用配方法结合(1)中求法得出答案即可,利用配方后式子大于0进而得出D,E,F要满足的条件;
(3)利用以上所求以及勾股定理得出最小值即可.
解答:解:(1)∵以点(3,4)为圆心,4为半径的圆,我们可以用方程(x-3)
2+(y-4)
2=4
2来表示,
∴方程(x-7)
2+(y-8)
2=81表示的是以(7,8)为圆心,
=9为半径的圆的方程;
(2)∵x
2+y
2-2x+2y+1=0可以整理为:(x-1)
2+(y+1)
2=1
2,
∴方程x
2+y
2-2x+2y+1=0表示的是以(1,-1)为圆心,1为半径的圆的方程;
∵方程x
2+y
2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)表示的是一个圆的方程,
∴上式可以整理为:(x+
)
2+(x+
)
2=
+
-F,
∴
+
-F>0,即D
2+E
2-4F>0,
则D,E,F要满足的条件是:D
2+E
2-4F>0;
(3)∵方程x
2+y
2=4所表示的圆的圆心为(0,0),半径为2,
B点坐标为(3,4),
∴BO=
=5,
∴圆上的所有点到点(3,4)的最小距离是:BC=CO=5-2=3,
故答案为:(7,8),9;:(1,-1),1,D
2+E
2-4F>0;3.
点评:此题主要考查了新定义和勾股定理以及配方法应用等知识,利用圆的方程得出圆心以及半径是解题关键.