Question

材料一：在平面直角坐标系中，如果已知A，B两点的坐标为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），设AB=t，那么我们可以通过构造直角三角形用勾股定理得出结论：（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=t²
材料二：根据圆的定义，圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合（其中定点为圆心，定长为半径）．如果把圆放在平面直角坐标系中，我们设圆心坐标为（a，b），半径为r，圆上任意一点的坐标为（x，y），那么我们可以根据材料一的结论得出：（x-a）²+（y-b）²=r²，这个二元二次方程我们把它定义为圆的方程．比如：以点（3，4）为圆心，4为半径的圆，我们可以用方程（x-3）²+（y-4）²=4²来表示．事实上，满足这个方程的任意一个坐标（x，y），都在已知圆上．
认真阅读以上两则材料，回答下列问题：
（1）方程（x-7）²+（y-8）²=81表示的是以

（7，8）

为圆心，

9

为半径的圆的方程．
（2）方程x²+y²-2x+2y+1=0表示的是以

（1，-1）

为圆心，

1

为半径的圆的方程； 猜想：若方程x²+y²+Dx+Ey+F=0（其中D，E，F为常数）表示的是一个圆的方程，则D，E，F要满足的条件是

D²+E²-4F＞0

．
（3）方程x²+y²=4所表示的圆上的所有点到点（3，4）的最小距离是

3

（直接写出结果）．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件直接得出方程（x-7）²+（y-8）²=81表示的圆心以及半径即可；
（2）利用配方法结合（1）中求法得出答案即可，利用配方后式子大于0进而得出D，E，F要满足的条件；
（3）利用以上所求以及勾股定理得出最小值即可．

解答：解：（1）∵以点（3，4）为圆心，4为半径的圆，我们可以用方程（x-3）²+（y-4）²=4²来表示，
∴方程（x-7）²+（y-8）²=81表示的是以（7，8）为圆心，

81

=9为半径的圆的方程；

（2）∵x²+y²-2x+2y+1=0可以整理为：（x-1）²+（y+1）²=1²，
∴方程x²+y²-2x+2y+1=0表示的是以（1，-1）为圆心，1为半径的圆的方程；
∵方程x²+y²+Dx+Ey+F=0（其中D，E，F为常数）表示的是一个圆的方程，
∴上式可以整理为：（x+

D

2

）²+（x+

E

2

）²=

D2

4

+

E2

4

-F，
∴

D2

4

+

E2

4

-F＞0，即D²+E²-4F＞0，
则D，E，F要满足的条件是：D²+E²-4F＞0；

（3）∵方程x²+y²=4所表示的圆的圆心为（0，0），半径为2，
B点坐标为（3，4），
∴BO=

32+42

=5，
∴圆上的所有点到点（3，4）的最小距离是：BC=CO=5-2=3，
故答案为：（7，8），9；：（1，-1），1，D²+E²-4F＞0；3．

点评：此题主要考查了新定义和勾股定理以及配方法应用等知识，利用圆的方程得出圆心以及半径是解题关键．