Question

19．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2与x轴交于A、B两点（A左、右B），与y轴交于点C．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在点P使得△PBC的面积等于△OBC的面积？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先通过解方程-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0得A（-1，0），B（4，0），再求自变量为0时的函数值得到C（0，2），接着根据两点间的距离公式计算出AC²=5，AB²=25，BC²=20，然后利用勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形；
（2）过P作PD⊥x轴交BC于点D，如图，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，利用抛物线上点的坐标特征，设P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），0＜t＜3，则D（t，-$\frac{1}{2}$t+2），于是可表示出PD=-$\frac{1}{2}$t²+2t，然后利用S_△PCB=S_△PDB+S_△PDC得到S_△PCB=-t²+4t，而S_△OBC=4，所以-t²+4t=4，再求方程得t=2，所以可判断在直线BC上方的抛物线上存在点P使得△PBC的面积等于△OBC的面积．

解答 （1）证明：当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x₁=-1，x₂=4，则A（-1，0），B（4，0），
当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=2，则C（0，2），
所以AC²=1²+2²=5，AB=4-（-1）=5，即AB²=25，BC²=4²+2²=20，
因为AC²+BC²=AB²，
所以△ABC为直角三角形；
（2）解：存在．理由如下：
过P作PD⊥x轴交BC于点D，如图，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（4，0），C（0，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
设P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），0＜t＜3，则D（t，-$\frac{1}{2}$t+2），
所以PD=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t
因为S_△PCB=S_△PDB+S_△PDC=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$t²+2t）=-t²+4t，S_△OBC=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
所以-t²+4t=4，解得t=2，此时P点坐标为（2，3），
所以在直线BC上方的抛物线上存在点P使得△PBC的面积等于△OBC的面积．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决（2）小题的关键把△BPC化为两个三角形计算面积．