图1⊙O中.△ABC和△DCE是等腰直角三角形.且△ABC内接于⊙O.∠ACB=∠DCE=90°.连接AE.BD.点D在AC上．(1)线段AE与BD的数量关系为相等.位置关系为垂直,(2)如图2若△DCE绕点C逆时针旋转α.记为△D1CE1,①当边CE所在直线与⊙O相切时.直接写出α的值,②求证:AE1=BD1,(3)如图3.若M是线段BE1的中点.N是线段AD1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

12．图1⊙O中，△ABC和△DCE是等腰直角三角形，且△ABC内接于⊙O，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD，点D在AC上．

（1）线段AE与BD的数量关系为相等，位置关系为垂直；
（2）如图2若△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），记为△D₁CE₁；
①当边CE所在直线与⊙O相切时，直接写出α的值；
②求证：AE₁=BD₁；
（3）如图3，若M是线段BE₁的中点，N是线段AD₁的中点，求证：MN=$\sqrt{2}$OM．

分析（1）结论AE=BD，AE⊥BD只要证明△BCD≌△ACE即可得到AE=BD，再由∠EAB+∠ABF=∠FAC+∠CAB+∠ABF=∠DBC+∠ABF+∠CAB=90°推出BD⊥AE．
（2）①只要证明∠ACO=45°即可．②欲证明AE₁=BD₁，只要证明△BCD₁≌△ACE₁即可．
（3）如图3中，延长BD₁交AE₁于点F，首先证明BF⊥AE₁，再根据三角形中位线定理证明△OMN是等腰直角三角形即可解决问题．

解答解：（1）AE=BD，AE⊥BD．
理由：如图1所示；延长BD交AE于点F．

∵△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，
∴∠BCD=∠ACE=90°，BC=AC，DC=CE．
∵在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE．
∴BD=AE，∠DBC=∠EAC．
∴∠EAB+∠ABF=∠FAC+∠CAB+∠ABF=∠DBC+∠ABF+∠CAB=45°+45°=90°．
∴∠BFA=90°．
∴BD⊥AE．
故答案分别为相等，垂直．

（2）①如图2所示；

∵CE₁与圆O相切，D₁C⊥CE₁，
∴CD₁经过点O．
∵BC=AC，OA=OB，
∴∠ACO=$\frac{1}{2}$∠BCA=45°．
∴α=45°．
②∵△ABC和△DCE是等腰直角三角形
∠ACB=∠D₁CE₁=90°
∴AC=BC，CE₁=CD₁
∴∠ACB-∠ACD₁=∠D₁CE1-∠ACD₁
即∠ACD₁=∠ACE₁
在△BCD₁≌△ACE₁中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠AC{D}_{1}=∠AC{E}_{1}}\\{C{D}_{1}=C{E}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△BCD₁≌△ACE₁
∴AE₁=BD₁

（3）证明：如图3中，延长BD₁交AE₁于点F

由（2）可知，△BCD₁≌△ACE₁，
∴BD₁=AE₁，∠D₁BC=∠CAE₁，
∴∠D₁BC+∠AE₁C=∠CAE₁+∠AE₁C=90°，
∴BF⊥AE₁，
∵AO=OB，AN=ND，
∴ON=$\frac{1}{2}$BD₁，ON∥BD，
∵AO=OB，E₁M=MB，
∴OM=$\frac{1}{2}$AE₁，OM∥AE₁
∴OM=ON，OM⊥ON
∴∠OMN=45°，
又 cos∠OMN=$\frac{OM}{MN}$，
∴MN=$\sqrt{2}$OM．

点评本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第三个问题的构建是三角形中位线定理的应用，出现$\sqrt{2}$想到等腰直角三角形的性质，属于中考压轴题．

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