Question

已知关于x的方程x²+2kx+k²+2k-2=0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程x²+2kx+k²+2k-2=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y=的图象上，求满足条件的m的最小值．

Answer 1

解：（1）由题意得△=（2k）²-4×（k²+2k-2）≥0
化简得-4k+8≥0，解得k≤1．

（2）将1代入方程，整理得k²+4k-1=0，解这个方程得 k₁=-2+，k₂=-2-．

（3）设方程x²+2kx+k²+2k-2=0的两个根为x₁，x₂，
根据题意得m=x₁•x₂．
又由一元二次方程根与系数的关系得x₁x₂=k²+2k-2，
那么m=k²+2k-2=（k+1）²-3，
所以，当k=-1时，m取得最小值-3．
分析：（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
（2）将x=1代入方程，得到关于k的方程，求出即可，
（3）写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值．
点评：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．