Question

6．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE．F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）△ABF与△ADE相似吗？说说你的理由．
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．
（3）在（1）、（2）的条件下，若AD=3，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出∠BAF=∠AED，∠C+∠D=180°，再由已知条件得出∠AFB=∠D，即可得出△ABF∽△ADE；
（2）先证出∠ABE=90°，再运用三角函数即可求出AE；
（3）由△ABF∽△ADE，得出$\frac{BF}{AD}=\frac{AB}{AE}$，即可求出BF．

解答 解：（1）△ABF∽△ADE；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAF=∠AED，∠C+∠D=180°，
∵∠BFE+∠AFB=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△ADE；
（2）∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∴cos∠BAE=$\frac{AB}{AE}$，
∴AE=$\frac{4}{cos30°}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$；
（3）∵△ABF∽△ADE，
∴$\frac{BF}{AD}=\frac{AB}{AE}$，
∴BF=$\frac{AD•AB}{AE}$=$\frac{3×4}{\frac{8\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的运用；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．