Question

如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；
（1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM=PN；
（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）①根据平行线的性质证得∠MBP=∠ECP再根据BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；
②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE则PM=

1

2

ME，而在Rt△MNE中，PN=

1

2

ME，即可得到PM=PN．
（2）证明方法与②相同．

解答：证明：（1）①如图2：
∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴∠BMA=∠CNM=90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBP=∠ECP，
又∵P为BC边中点，
∴BP=CP，
在△BPM和△CPE中，

∠ECP=∠MBP BP=CP ∠BPM=∠CPE

，
∴△BPM≌△CPE，（ASA）
②∵△BPM≌△CPE，
∴PM=PE∴PM=

1

2

ME，
∴在Rt△MNE中，PN=

1

2

ME，
∴PM=PN；
（2）成立，如图3．
延长MP与NC的延长线相交于点E，

∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴∠BMN=∠CNM=90°∴∠BMN+∠CNM=180°，
∴BM∥CN∴∠MBP=∠ECP，
又∵P为BC中点，
∴BP=CP，
在△BPM和△CPE中，

∠MBP=∠ECP BP=CP ∠BPM=∠CPE

，
∴△BPM≌△CPE，（ASA）
∴PM=PE，
∴PM=

1

2

ME，
则Rt△MNE中，PN=

1

2

ME，
∴PM=PN．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BPM≌△CPE是解题的关键．