Question

3．如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P．
（1）求证：PC²=PA•PB；
（2）若BC=6，AC=8，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC、BC，根据圆周角定理以及同角的余角相等证得∠ACP=∠B，则根据有两个角对应相等的三角形相似即可证得；
（2）根据相似三角形的对应边相等即可求解．

解答 解：（1）连接AC、BC．
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠B+∠BCP=90°，
∴∠ACP=∠B，
又∵∠APC=∠CPB=90°，
∴△APC∽△CPB，
∴$\frac{AP}{CP}=\frac{CP}{BP}$，
∴CP²=AP•BP；
（2）在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{6^2}+{8^2}}=10$，
∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB=90°
∴△APC∽△ACB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$
∴AC²=AP•AB即8²=AP•10
∴AP=6.4．

点评 本题考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质，正确证明∠ACP=∠B是解决本题的关键．