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    阅读理解与应用
    如图，⊙O1与⊙O2交于A，B两点，C，D是⊙O1上的两点，E，F是⊙O2上的两点，BA的延长线、DC的延长线、FE的延长线都交于点P．
    通过证明△PBC与△PDA相似，得到的比例式化成等积式为：PC•PD=PA•PB．
    问题：（1）PE•PF=PA•PB成立吗？为什么？
    （2）直接写出PC•PD与PE•PF的数量关系式．
    分析：（1）根据∠BPE=∠FPA，∠PBE=∠PFA，得出△PBE∽△PFA，进而利用相似三角形的性质得出PE•PF=PA•PB；
    （2）利用△PBC与△PDA相似，得到的比例式化成等积式为：PC•PD=PA•PB，再由（1）得出PE•PF=PA•PB，即可得出PC•PD=PE•PF．
    解答：解：（1）PE•PF=PA•PB成立．
    理由如下：
    在△PBE和△PFA中，
    ∵∠BPE=∠FPA，∠PBE=∠PFA，
    ∴△PBE∽△PFA．
    ∴
    PE
    PA
    =
    PB
    PF
    ．
    ∴PE•PF=PA•PB．

    （2）PC•PD=PE•PF
    理由：∵∠CPB=∠APD，∠PBC=∠PDA，
    ∴△BPC∽△DPA，
    ∴
    PC
    PA
    =
    PB
    PD
    ，
    ∴PC•PD=PA•PB，
    ∵由（1）得：PE•PF=PA•PB，
    ∴PC•PD=PE•PF．
    点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据圆周角定里得出∠PBE=∠PFA是解题关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读与理解：
    三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，
    即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，
    则S△ABD=S△ACD=
    1
    2
    S△ABC    ．
    理由：∵BD=CD，∴S△ABD=
    1
    2
    BD×AH=
    1
    2
    CD×AH=S△ACD    =
    1
    2
    S△ABC    ，
    即：等底同高的三角形面积相等．
    操作与探索
    在如图2至图4中，△ABC的面积为a．
    （1）如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=
     
    （用含a的代数式表示）；
    （2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=
     
    （用含a的代数式表示），并写出理由；
    （3）在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图4）．若阴影部分的面积为S3，则S3=
     
    （用含a的代数式表示）．
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    拓展与应用
    如图5，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC、CD的中点，求图中阴影部分的面积？精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读材料：
    如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ARP+S△ACP=S△ABC，即：
    1
    2
    AB•r1+
    1
    2
    AC•r2=
    1
    2
    AC•h，∴r1+r2=h（定值）．
    （1）理解与应用：
    如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长．
    （2）类比与推理：
    如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：
    已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．
    （3）拓展与延伸：
    若正n边形A1A2…An，内部任意一点P到各边的距离为r1r2…rn，请问r1+r2+…+rn是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值．
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    科目：初中数学 来源：2009年河北省中考数学试卷 题型：044

    如图1至图5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．

    阅读理解：

    (1)如图1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB＝c时，⊙O恰好自转1周．

    (2)如图2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A－B－C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2＝n°，⊙O在点B处自转周．

    实践应用：

    (1)在阅读理解的(1)中，若AB＝2c，则⊙O自转________周；若AB＝l，则⊙O自转________周．在阅读理解的(2)中，若∠ABC＝120°，则⊙O在点B处自转________周；若∠ABC＝60°，则⊙O在点B处自转________周．

    (2)如图3，∠ABC＝90°，AB＝BC＝c．⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A－B－C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转________周．

    拓展联想：

    (1)如图4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．

    (2)如图5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    阅读与理解：
    三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，
    即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，
    则数学公式．
    理由：∵BD=CD，∴数学公式=数学公式，
    即：等底同高的三角形面积相等．
    操作与探索
    在如图2至图4中，△ABC的面积为a．
    （1）如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=______（用含a的代数式表示）；
    （2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=______（用含a的代数式表示），并写出理由；
    （3）在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图4）．若阴影部分的面积为S3，则S3=______（用含a的代数式表示）．

    拓展与应用
    如图5，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC、CD的中点，求图中阴影部分的面积？

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