Question

阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r₁，r₂，腰上的高为h，连接AP，则S_△ARP+S_△ACP=S_△ABC，即：

1

2

AB•r₁+

1

2

AC•r₂=

1

2

AC•h，∴r₁+r₂=h（定值）．
（1）理解与应用：
如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长．
（2）类比与推理：
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：
已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r₁，r₂，r₃，等边△ABC的高为h，试证明r₁+r₂+r₃=h（定值）．
（3）拓展与延伸：
若正n边形A₁A₂…A_n，内部任意一点P到各边的距离为r₁r₂…r_n，请问r₁+r₂+…+r_n是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值．

Answer 1

分析：（1）已知BE=BC，采用面积分割法，S_△BFE+S_△BCF=S_△BEC得出三角形高的数量关系．
（2）连接PA，PB，PC，仿照面积的割补法，得出S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC，而这几个三角形的底相等，故可得出高的关系．
（3）问题转化为正n边形时，根据正n边形计算面积的方法，从中心向各顶点连线，可得出n个全等的等腰三角形，用边长为底，边心距为高，可求正n边形的面积，然后由P点向正n多边形，又可把正n边形分割成n过三角形，以边长为底，以r₁r₂…r_n为高表示面积，列出面积的等式，可求证r₁+r₂+…+r_n为定值．

解答：解：（1）过E点作EH⊥BC，垂足为H，连接BF，
∵BE=BC=3，∠EBH=45°，
∴EH=

3 2

2

，
∵S_△BFE+S_△BCF=S_△BEC，
∴

1

2

BE×FN+

1

2

BC×FM=

1

2

BC×EH，
∵BE=BC，
∴FN+FM=EH=

3 2

2

．

（2）连接PA，PB，PC，
∵S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC，
∴

1

2

BC•r₁+

1

2

AC•r₂+

1

2

AB•r₃=

1

2

BC•h，
∵BC=AC=AB，
∴r₁+r₂+r₃=h．

（3）设n边形的边心距为r，则：r₁+r₂+…+r_n=nr（定值）．

点评：本题主要利用面积分割法，求线段之间的关系，充分体现了面积法解题的作用．