Question

设a、b、c是互不相等的实数．求证：

a4

(a-b)(a-c)

+

b4

(b-c)(b-a)

+

c4

(c-a)(c-b)

＞0．

Answer 1

分析：将不等式的左端通分后可将分子进行因式分解，约分后左端可化为a²+b²+c²+ab+ac+bc，配方后即可得出结论．

解答：证明：∵a、b、c是互不相等的实数，
∴

-a4(b-c)-b4(c-a)-c4(a-b)

(a-b)(c-a)(b-c)

=

(a-b)(c-a)(b-c)(a2+b2+c2+ab+bc+ca)

(a-b)(b-c)(c-a)

=a²+b²+c²+ab+ac+bc
=

1

2

[（a+b）²+（b+c）²+（c+a）²]＞0．
故原不等式成立．

点评：本题考查了分式的等式证明，通分后将分子进行因式分解是解答本题的关键，难度较大，另外还要求我们要熟练配方法的应用．