Question

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：AC=BF；
（2）当∠D与∠AFD满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
即AB∥CF，
∴∠BAE=∠CFE，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
∵在△ABE和△FCE中
，
∴△ABE≌△FCE，
∴AE=EF，
∵BE=CE，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴AC=BF；

（2）解：当∠D=∠AFD时，四边形ABFC是矩形，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵由（1）知：四边形ABFC是平行四边形，
∴AB=CF，
∴CD=CF，
∵∠D=∠AFD，
∴AD=AF，
∴AC⊥FD，
∴∠ACF=90°，
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴平行四边形ABFC是矩形，
即当∠D=∠AFD时，四边形ABFC是矩形．
分析：（1）根据平行四边形性质推出AB∥CD，推出∠BAE=∠CFE，根据AAS证△ABE≌△FCE，推出AE=EF，得出平行四边形ABFC，推出即可；
（2）当∠D=∠AFD时，四边形ABFC是矩形，理由是：推出AD=AF，根据平行四边形性质推出FC=AB=FD，根据等腰三角形性质推出AC⊥FD，根据矩形的判定推出即可．
点评：本题考查的知识点是平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，本题综合性比较强，是一道比较好的题目．