试题分析:(1)由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式;
(2)首先确定△MCD为等腰直角三角形,因为△BND与△MCD相似,所以△BND也是等腰直角三角形.如答图1所示,符合条件的点N有3个;
(3)如答图2、答图3所示,解题关键是求出△PBD面积的表达式,然后根据S
△PBD=6的已知条件,列出一元二次方程求解.
试题解析:(1)∵直线l:y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴A(﹣1,0),B(0,3);
∵把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,∴C(1,0).
设直线BD的解析式为:y=kx+b,
∵点B(0,3),D(3,0)在直线BD上,
∴
,
解得k=﹣1,b=3,
∴直线BD的解析式为:y=﹣x+3.
设抛物线的解析式为:y=a(x﹣1)(x﹣3),
∵点B(0,3)在抛物线上,
∴3=a×(﹣1)×(﹣3),
解得:a=1,
∴抛物线的解析式为:y=(x﹣1)(x﹣3)=x
2﹣4x+3;
(2)抛物线的解析式为:y=x
2﹣4x+3=(x﹣2)
2﹣1,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,﹣1).
直线BD:y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M,令x=2,得y=1,
∴M(2,1).
设对称轴与x轴交点为点F,则CF=FD=MF=1,
∴△MCD为等腰直角三角形.
∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似,
∴△BND为等腰直角三角形.
如答图1所示:
(I)若BD为斜边,则易知此时直角顶点为原点O,
∴N
1(0,0);
(II)若BD为直角边,B为直角顶点,则点N在x轴负半轴上,
∵OB=OD=ON
2=3,
∴N
2(﹣3,0);
(III)若BD为直角边,D为直角顶点,则点N在y轴负半轴上,
∵OB=OD=ON
3=3,
∴N
3(0,﹣3).
∴满足条件的点N坐标为:(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3);
(3)假设存在点P,使S
△PBD=6,设点P坐标为(m,n).
(I)当点P位于直线BD上方时,如答图2所示:
过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=n,DE=m﹣3.
S
△PBD=S
梯形PEOB﹣S
△BOD﹣S
△PDE=
(3+n)•m﹣
×3×3﹣
(m﹣3)•n=6,
化简得:m+n="7" ①,
∵P(m,n)在抛物线上,
∴n=m
2﹣4m+3,
代入①式整理得:m
2﹣3m﹣4=0,
解得:m
1=4,m
2=﹣1,
∴n
1=3,n
2=8,
∴P
1(4,3),P
2(﹣1,8);
(II)当点P位于直线BD下方时,如答图3所示:
过点P作PE⊥y轴于点E,则PE=m,OE=﹣n,BE=3﹣n.
S
△PBD=S
梯形PEOD+S
△BOD﹣S
△PBE=
(3+m)•(﹣n)+
×3×3﹣
(3﹣n)•m=6,
化简得:m+n=﹣1 ②,
∵P(m,n)在抛物线上,
∴n=m
2﹣4m+3,
代入②式整理得:m
2﹣3m+4=0,△=﹣7<0,此方程无解.
故此时点P不存在.
综上所述,在抛物线上存在点P,使S
△PBD=6,点P的坐标为(4,3)或(﹣1,8).