Question

如图，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC、∠ACB的平分线AD、CE交于点F，试猜想AE、CD、AC三条线段之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：常规题型

分析：在CA上取点G使得CG=CD，可证△GCF≌△DCF，得CD=CG，可证△AEF≌△AGF，得AE=AG，可以求得AE+CD=AC．

解答：解：在CA上取点G使得CG=CD，

∵∠AFC=180°-

1

2

（∠BAC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-60°）=120°，
∴∠AFE=∠CFD=60°，
∵在△GCF和△DCF中，

FC=FC ∠GCF=∠FCD CD=CG

，
∴△GCF≌△DCF（SAS），
∴∠GFC=∠CFD=60°，CD=CG
∴∠AFG=120°-60°=60°=∠AFE，
∵在△AEF和△AGF中，

∠AFE=∠AFG ∠EAF=∠GAF AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（AAS），
∴AE=AG，
∴AE+CD=AG+CG=AC．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD=CG和AE=AG是解题的关键．