Question

9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF相交于点P．
（1）若∠ABC=70°，∠ACB=50°，则∠BPC=120°；
（2）求证：∠BPC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）；
（3）若∠A=α，求∠BPC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；
（2）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论；
（3）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于P，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°．
故答案为：120；
（2）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF相交于点P，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∴∠BPC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）；
（3）解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵由（2）可知：∠BPC=180°-$\frac{1}{2}$∠ABC+∠ACB），
∴∠BPC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∵∠A=α，
∴∠BPC=180°=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°+$\frac{1}{2}α$．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．