Question

8．如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：
①中点四边形EFGH一定是平行四边形；
②当四边形ABCD是矩形，中点四边形EFGH也是矩形；
③当四边形ABCD是菱形，中点四边形EFGH也是菱形；
④当四边形ABCD是正方形，中点四边形EFGH也是正方形．
其中正确的结论是①④（只填代号）

Answer 1

分析 此题应用三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可．

解答 解：连接AC，BD，
∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点，
∴EF∥AC，HG∥AC，EH∥BD，GF∥BD，
∴EF∥GH，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；（①正确）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵EF=$\frac{1}{2}$AC，EH=$\frac{1}{2}$BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形；（②错误）
∵四边形EFGH是菱形，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD不一定是矩形；（③错误）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴四边形EFGH是正方形．（④正确）
∴正确的是①④．
故答案为：①④．

点评 此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．解题时注意中点四边形的判定：一般中点四边形是平行四边形；如果对角线相等，则得到的中点四边形是菱形，如果对角线互相垂直，则得到的中点四边形是矩形，如果对角线相等且互相垂直，则得到的中点四边形是正方形．