Question

点P是△ABD中AD边上一点，
【小题1】如图1，当P为AD中点时，则有S_△ABP=    S_△ABD；
【小题2】如图2，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC的面积为，△ABC的面积为，△DBC的面积为。
①当AP=AD时，如图3，试探究、、之间的关系？写出求解过程；
②一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，试探究、、之间的关系？写出求解过程。

Answer 1

【小题1】S_△ABP=S_△ABD；
【小题2】①当AP=AD时（如图②）：

∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=S_△ABD。
∵PD=AD－AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=S_△CDA。
∴S_△PBC=S_{四边形ABCD}－S_△ABP－S_△CDP
=S_{四边形ABCD}－S_△ABD－S_△CDA
=S_{四边形ABCD}－（S_{四边形ABCD}－S_△DBC）－（S_{四边形ABCD}－S_△ABC）
=S_△DBC＋S_△ABC。
②S_△PBC=S_△DBC＋S_△ABC；
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=S_△ABD。
又∵PD=AD－AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=S_△CDA
∴S_△PBC=S_{四边形ABCD}－S_△ABP－S_△CDP
=S_{四边形ABCD}－S_△ABD－S_△CDA
=S_{四边形ABCD}－（S_{四边形ABCD}－S_△DBC）－（S_{四边形ABCD}－S_△ABC）
=S_△DBC＋S_△ABC。
∴S_△PBC=S_△DBC＋S_△ABC

解析