Question

点P是△ABD中AD边上一点，

1.如图1，当P为AD中点时，则有S_△ABP=     S_△ABD；

2.如图2，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC的面积为，△ABC的面积为，△DBC的面积为。

①当AP=AD时，如图3，试探究、、之间的关系？写出求解过程；

②一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，试探究、、之间的关系？写出求解过程。

 

Answer 1

【答案】

 

1.S_△ABP=S_△ABD；

2.①当AP=AD时（如图②）：

∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S_△ABP=S_△ABD。

∵PD=AD－AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S_△CDP=S_△CDA。

∴S_△PBC=S_{四边形ABCD}－S_△ABP－S_△CDP

=S_{四边形ABCD}－S_△ABD－S_△CDA

=S_{四边形ABCD}－（S_{四边形ABCD}－S_△DBC）－（S_{四边形ABCD}－S_△ABC）

=S_△DBC＋S_△ABC。

②S_△PBC=S_△DBC＋S_△ABC；

∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S_△ABP=S_△ABD。

又∵PD=AD－AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S_△CDP=S_△CDA

∴S_△PBC=S_{四边形ABCD}－S_△ABP－S_△CDP

=S_{四边形ABCD}－S_△ABD－S_△CDA

=S_{四边形ABCD}－（S_{四边形ABCD}－S_△DBC）－（S_{四边形ABCD}－S_△ABC）

=S_△DBC＋S_△ABC。

∴S_△PBC=S_△DBC＋S_△ABC

【解析】（1）因为△ABP和△ABD的高相等，所以S_△ABP=S_△ABD

（2）①当AP=AD时，△ABP和△ABD的高相等，所以S_△ABP=S_△ABD，同理S_△CDP=S_△CDA，通过

S_△PBC=S_{四边形ABCD}－S_△ABP－S_△CDP得出结论

②与①证法相同