Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F.设点P的横坐标为m.

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.

(2)点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值；

(3)若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)，称E、F、P三点为“共诸点”.直接写出E、F、P三点成为“共诸点”时m的值.

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+x+2；(2)m＝或；(3) -1或-或.

【解析】

（1）交x轴，y轴于点A，B，求出点A、B的坐标，可得c＝2，则抛物线表达式为：y＝﹣x2+bx+2，将点A的坐标代入上式，即可求解；

（2）①当∠EBF为直角时，则tan∠BEF＝，则BE2＝4BF2，根据勾股定理列方程求解即可；②当∠BEF为直角时，则EF＝BE，与①同理即可求解；

（3）用m可表示出P、F、E的坐标，由题意可知有F为线段PE的中点、P为线段EF的中点或E为线段PF的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．

解：（1）把x=0代入，得=2.

把y=0代入，得，∴x=4.

∴点A、B的坐标分别为(4，0)、(0，2)，

∴c＝2，

∴抛物线表达式为：y＝﹣x2+bx+2，

将点A的坐标代入上式得，

0＝﹣16+4b+2，

∴b＝，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；

（2）tan∠OAB＝＝，

点P的横坐标为m，则点E、F的坐标分别为：(m，﹣m2+m+2)、(m，﹣m+2)，

①当∠EBF为直角时，

以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，则∠BEF＝∠OAB，

则tan∠BEF＝，则BE2＝4BF2，

即：m2+(﹣m2+m+2m﹣2)2＝4[m2+(﹣m+2﹣2)2]，

解得：m＝或(舍去)；

②当∠BEF为直角时，

则EF＝BE，

∴﹣m2+m+2m﹣2=m，

解得

m1=，m2=0（舍去）.

综上，m＝或；

（3）点P的横坐标为m，则点P、E、F的坐标分别为：(m，0)、(m，﹣m2+m+2)、(m，﹣m+2)，

∵E、F、P三点为“共谐点”，

∴有F为线段PE的中点、P为线段FE的中点或E为线段PF的中点，

当F为线段PE的中点时，则有2（-m+2）=-m2+m+2，解得m=4（三点重合，舍去）或m=；

当P为线段FE的中点时，则有-m+2+（-m2+m+2）=0，解得m=4（舍去）或m=-1；

当E为线段FP的中点时，则有-m+2=2（-m2+m+2），解得m=4（舍去）或m=-；

综上可知当E、F、P三点成为“共谐点”时m的值为-1或-或．