Question

（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G。求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的；
（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，
求证：当∠DOE绕着点O旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的。

Answer 1

证明：（1）如图1，连接OA，OC；
因为点O是等边三角形ABC的外心，所以Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，
S_OFCG=2S_△OFC=S_△OAC，
因为S_△OAC=S_△ABC，
所以S_OFCG=S_△ABC；
（2）连接OA，OB和OC，
则△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2，
设OD交BC于点F，OE交AC于点G，
∴∠AOC=∠3+∠4=120°，∠DOE=∠5+∠4=120°，
∴∠3=∠5，
在△OAG和△OCF中，∠1=∠2，OA=OC，∠3=∠5，
∴△OAG≌△OCF
∴S_OFCG=S_△OAC=S_△ABC。