Question

【题目】如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论①∠AED=∠ADC；②；③ACBE=12；④3BF=4AC，其中结论正确的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

Answer 1

【答案】C．

【解析】

试题分析：①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，

∵∠EAD=∠DAC，

∴∠AED=∠ADC．

故本选项正确；

②∵AD平分∠BAC，

∴，

∴设AB=4x，则AC=3x，

在直角△ABC中，AC2+BC2=AB2，则（3x）2+49=（4x）2，

解得：x=，

∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，

∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：，故不正确；

③由①知∠AED=∠ADC，

∴∠BED=∠BDA，

又∵∠DBE=∠ABD，

∴△BED∽△BDA，

∴DE：DA=BE：BD，由②知DE：DA=DC：AC，

∴BE：BD=DC：AC，

∴ACBE=BDDC=12．

故本选项正确；

④连接DM，

在Rt△ADE中，MD为斜边AE的中线，

则DM=MA．

∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，

∴DM∥BF∥AC，

由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；

由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=4：3，

∴3BF=4AC．

故本选项正确．

综上所述，①③④正确，共有3个．

故选C．