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观察下列等式:
1
2×3
=
1
2
-
1
3

1
3×4
=
1
3
-
1
4


(1)猜想:
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1

(2)直接写出下列各式的结果:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2009×2010
=
2009
2010
2009
2010

1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
n
n+1
n
n+1
分析:(1)先根据题中所给出的列子进行猜想,写出猜想结果即可;
(2)根据(1)中的猜想计算出结果.
解答:解:(1)∵
1
2×3
=
1
2
-
1
3

1
3×4
=
1
3
-
1
4

1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

故答案为:
1
n
-
1
n+1


(2)①原式=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2009
-
1
2010

=1-
1
2010

=
2009
2010

故答案为:
2009
2010

②原式═1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1

=1-
1
n+1

=
n
n+1

故答案为:
n
n+1
点评:本题考查的是分式的加减,根据题意找出规律是解答此题的关键.
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相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

22、观察下列等式:12-02①,22-12②,32-22③,42-32④,…
(1)按此规律猜想出第⑦个算式;
(2)请用含自然数n的等式表示这种规律.

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科目:初中数学 来源: 题型:

观察下列等式:
1
2
+1
=
1×(
2
-1)
(
2
+1)(
2
-1)
=
2
-1
2-1
=
2
-1,
1
3
+
2
=
1×(
3
-
2
)
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=
3
-
2
3-2
=
3
-
2

同理可得:
1
4
+
3
=
4
-
3
,…
从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…
1
2002
+
2001
)(
2002
+1)的值.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•珠海)观察下列等式:
12×231=132×21,
13×341=143×31,
23×352=253×32,
34×473=374×43,
62×286=682×26,

以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.
(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:
①52×
275
275
=
572
572
×25;
63
63
×396=693×
36
36

(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a、b),并证明.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•市南区模拟)观察下列等式:
①12=1;
②2+3+4=32
③3+4+5+6+7=52
④4+5+6+7+8+9+10=72
请你根据观察得到的规律判断式子1006+1007+1008+…+3016=
20112
20112

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