Question

在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，2），过点A作直线l垂直y轴，点B是直线l上异于点A的一点，且∠OBA=α．过点B作直线l的垂线m，点C在直线m上，且在直线l的下方，∠OCB=2α．设点C的坐标为（x，y）．
（1）判断△OBC的形状，并加以证明；
（2）直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）延长CO交（2）中所求函数的图象于点D．求证：CD=CO•DO．

Answer 1

解：（1）△OBC为等腰三角形．
证明：如图1，∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°．
∵∠OBA=α，
∴∠CBO=90°-α．
∵∠OCB=2α，
∴∠BOC=90°-α=∠CBO．
∴BC=OC．
∴△OBC为等腰三角形．

（2）∵l⊥y轴，m⊥l，点A的坐标是（0，2），点C的坐标为（x，y），
∴B（x，2），
∵由（1）知，BC=OC，
∴=|2-y|，整理得到y=-x²+1．
∴y与x的函数关系式为y=-x²+1．

（3）证明：如图2，设直线OC的解析式为y=kx（k≠0）．
根据题意知，点C、D是过原点的直线OC与抛物线y=-x²+1的两个交点．故可设C（x₁，kx₁），D（x₂，kx₂）．
显然，x₁、x₂是关于x的方程kx=-x²+1，即x²+kx-1=0的两个根．
∴由韦达定理，得x₁+x₂=-4k，x₁•x₂=-4，
∴x₁-x₂=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂===4．
∵CD==|x₁-x₂|•，CO=，DO=，

∴=====1，
∴CD=CO•DO．
分析：（1）△OBC为等腰三角形．利用余角的定义求得∠CBO=90°-α．根据△BOC的内角和定理求得∠BOC=90°-α=∠CBO．则由“等角对等边”证得BC=OC，即△OBC为等腰三角形；
（2）如图1，根据点A、C的坐标易求B（x，2），则由（1）中的BC=OC可以列出x、y的关系式；
（3）根据题意知，点C、D是过原点的直线OCy=kx（k≠0）与抛物线y=-x²+1的两个交点．故可设C（x₁，kx₁），D（x₂，kx₂）．所以根据两点间的距离公式可以求得线段CD、CO、DO，并求得=1，所以易证得结论．
点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求二次函数的解析式、两点间的距离公式、等腰三角形的判定等知识点．解答（3）题时，本题采用了代数法证得结论，当然也可以利用几何法来证得．