Question

梯形ABCD中，AD∥BC，P，M，N分别为AD，AB，CD上的点，且PM∥BD，PN∥AC，
（1）求证：

PM

BD

+

PN

AC

=1；
（2）若AC⊥BD，AC=BD=12，设PN=x，△PMN的面积为y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中，当x取什么值时，△PMN的面积最大？并指出此时P点在线段AD上什么位置．

Answer 1

分析：（1）PM∥BD，PN∥AC，△AMP∽△ABD，△DPN∽△DAC，得

PM

BD

=

AP

AD

①；

PN

AC

=

PD

AD

②，①+②化简即可得证；
（2）根据题给条件证明∠MPN为直角，然后利用（1）中的结论求出PM的长，继而利用三角形的面积公式求解即可；
（3）根据（2）中得出的y与x的函数关系式求出最值．

解答：解：（1）∵PM∥BD，PN∥AC，
∴△AMP∽△ABD，得

PM

BD

=

AP

AD

  ①
同理可得△DPN∽△DAC，

PN

AC

=

PD

AD

  ②
①+②得：
得

PM

BD

+

PN

AC

=

PD

AD

+

AP

AD

=

(AP+PD)

AD

=1
即：

PM

BD

+

PN

AC

=1；

（2）∵PM∥BD，PN∥AC，AC⊥BD，
∴∠MPN为直角，
∵AC=BD=12，PN=x，

PM

BD

+

PN

AC

=1，
∴PM=12-x，
∴△PMN的面积y=

1

2

×x（12-x）=-

1

2

x²+6x；

（3）由（2）知：y=-

1

2

（x-6）²+18，
当x=6时，y_max=18，此时点P为线段AD的中点．

点评：本题考查梯形的知识，同时涉及了二次函数的最值、三角形的面积、三角形中位线定理和平行线分线段成比例的知识，是一道综合题，但难度不是很大．