Question

如图，⊙O的半径是10cm，点A在⊙O上，线段AC交⊙O于点B，AC=23cm，AB=12cm，点P在线段AC上，设AP=x（cm），OP=y（cm）．
（1）求y关于x的函数关系式，及x的取值范围；
（2）当x=4、14时，求y的值；
（3）当y=8时，求x的值；
（4）当x为何值时，10≤y≤17？

Answer 1

分析：（1）作OD⊥AB，垂足为D，连接OA，由垂径定理得AD=DB=

1

2

AB，在Rt△AOD中，由勾股定理求OD，在Rt△POD中，由线段关系表示PD，再由勾股定理得出y关于x的函数关系式；
（2）利用（1）的函数关系式求y的值；
（3）利用（1）的函数关系式求x的值；
（4）把y=10和y=17分别代入（1）的函数关系式，求对应的x的值，再确定x的取值范围．

解答：解：（1）作OD⊥AB，垂足为D，连接OA，
∵OD⊥AB，∴AD=DB=

1

2

AB=6，而OA=10，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD=

OA2-AD2

=8，
由此可得PD=|x-6|，
在Rt△POD中，OP=

PD2+OD2

，
即y=

(x-6)2+82

=

x2-12x+100

，（0≤x≤23）；

（2）当x=4时，y=

(x-6)2+82

=2

17

，
当x=14时，y=

(x-6)2+82

=8

2

；
（3）当y=8时，

(x-6)2+82

=8，解得x=6；
（4）∵当y=10时，

(x-6)2+82

=10，解得x=12（舍去负值），
当y=17时，

(x-6)2+82

=17，解得x=21（舍去负值），
∴12≤x≤21，
故当12≤x≤21时，10≤y≤17．

点评：本题考查了垂径定理，勾股定理的综合运用．关键是由垂径定理得出相等线段，由勾股定理得出函数关系式，并运用函数关系式解答其它问题．