Question

如图，平面直角坐标系中，直线与直线x=3交于点P，点A是直线x=3与x轴的交点，将直线OP绕着点O、直线AP绕着点A以相同的速度逆时针方向旋转，旋转过程中，两条直线交点始终为P，当直线OP与y轴正半轴重合时，两条直线同时停止转动．
（1）当旋转角度为15°时，点P坐标为______；
（2）整个旋转过程中，点P所经过的路线长为______．

Answer 1

解：∵直线y=x与直线x=3交于点P，
∴点P的坐标为：（3，），
∴OA=3，
∴tan∠POA==，
∴∠POA=30°．
（1）如图，当旋转角度为15°时，
过点P作PC⊥OA于C，作AB⊥OP于B，
∵∠POA=30°+15°=45°，∠OAP=90°-15°=75°，
∴∠BAO=∠POA=45°，
∴∠BAP=∠OAP-∠BAO=75°-45°=30°，
在Rt△OAB中，OB=AB=OA•cos∠POA=3×=，
在Rt△ABP中，BP=AB•tan∠PAB=×=，
∴OP=OB+BP=+，
在Rt△OCP中，OC=PC=OP•sin∠POA=（+）×=，
∴点P的坐标为：（，）；

（2）整个旋转过程中，点P所经过的路线是圆弧．
当两条直线停止转动时，点P到点P₃处，如图2，
则∠AOP₃=90°，
∴OP旋转了60°，
∴∠OAP₃=90°-60°=30°，
∴OP₃=OA•tan∠OAP=3×=；
∴P₁P₃∥OA，
则点P所经过的路线如图3，
设P₂是的中点，D是圆心，
连接P₂D并延长，交P₁P₃于点C，交OA于E，连接P₂A，P₂O，P₁D，
∴P₂C⊥P₁P₃，P₂C⊥OA，P₁C=P₃C=OE=AE=AC=，
∴P₂A=P₂O，
∴∠P₂OA=∠P₂AO，
设旋转角为x°，
则∠P₂AO=90°-x°，∠P₂OA=30°+x°，
∴90-x=30+x，
解得：x=30，
∴∠P₂OA=60°，
∴P₂E=OE•tan∠P₂OA=×=，
∴P₂C=P₂E-CE=，
设半径为r，
则r²=（）²+（r-）²，
解得：r=，
∴CD=r-P₂C=，
∴tan∠CP₃D==，
∴∠CP₃D=∠CP₁D=30°，
∴∠P₁DP₃=120°，
∴整个旋转过程中，点P所经过的路线长为：=π．
故答案为：（1）（，）；（2）π．
分析：（1）首先根据题意可求得旋转前点P的坐标，即可得OA的长，当旋转角度为15°时，过点P作PC⊥OA于C，作AB⊥OP于B，由∠POA=30°+15°=45°，∠OAP=90°-15°=75°，利用解直角三角形的知识可求得点P的坐标；
（2）可得整个旋转过程中，点P所经过的路线是圆弧．根据题意作出图形，然后设P₂是的中点，D是圆心，连接P₂D并延长，交P₁P₃于点C，交OA于E，连接P₂A，P₂O，P₁D，利用垂径定理，可求得半径的长，由特殊角的三角函数值，求得圆心角的度数，然后利用弧长公式求解即可求得答案．
点评：此题考查了一次函数的交点问题、解直角三角形的知识、特殊角的三角函数值、垂径定理以及弧长公式等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．