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如图在平面直角坐标系中,A点坐标为(8,0),B点坐标为(0,6)C是线段AB的中点.请问在y轴上是否存在一点P,使得以P、B、C为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
分析:首先由A点坐标为(8,0),B点坐标为(0,6),根据勾股定理,求得AB的长,又由C是线段AB的中点,求得BC的长,然后分别从①如图1,若△PNC∽△OBA与②如图2,若△PBC∽△ABO去分析求解即可求得答案.
解答:解:存在这样的P点.理由如下:
∵∠AOB=90°,OA=8,OB=6;
∴AB=10.
∵C是线段AB的中点,
∴BC=5.
∵∠ABO是公共角,
①如图1,若△PBC∽△OBA,
则需PB:OB=BC:BA,
PB
6
=
5
10

解得:PB=3,
∴P点的坐标为(0,3);
②如图2,若△PBC∽△ABO,
∴PB:AB=BC:OB,
PB
10
=
5
6

解得:PB=
25
3

∴OP=PB-OB=
7
3

∴P点的坐标为(0,-
7
3
).
∴P(0,3)或(0,-
7
3
).
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及平面直角坐标系中点的坐标特征等知识.此题难度适中,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

21、如图在平面直角坐标系中,△AOB的顶点分别为A(2,0),O(0,0),B(0,4).
①△AOC与△AOB关于x轴成轴对称,则C点坐标为
(0,-4)

②将△AOB绕AB的中点D逆时针旋转90°得△EGF,则点A的对应点E的坐标为
(3,3)

③在图中画出△AOC和△EGF,△AOB与△EGF重叠的面积为
1
平方单位.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(2,0),以点A为圆心,2为半径的圆与x轴交于O,B两点,C为⊙A上一点,P是x轴上的一点,连接CP,将⊙A向上平移1个单位长度,⊙A与x轴交于M、N,与y轴相切于点G,且CP与⊙A相切于点C,∠CAP=60°.请你求出平移后MN和PO的长.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,且斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示点B在抛物线y=ax2+ax-2上.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°到达△AB′C′的位置,请写出点B′坐标
(1,-1)
(1,-1)
,点C′坐标
(2,1)
(2,1)
;判断点B′
,C′
(填“在”或“不”)在(2)中的抛物线上.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图在平面直角坐标系中,M为x轴上一点,⊙M交x轴于A、B两点,交y轴于C、D两点,P为
BC
上的一个动点,CQ平分∠PCD交AP于Q,A(-1,0),M(1,0).
(1)求C点坐标;
(2)当点P在
BC
上运动时,线段AQ的长是否改变?若不变,请求出其长度;若改变,请说明理由.(提示:连接AC).
(3)当点P在
BC
上运动时,是否存在这样的点P,使CQ所在直线经过点M?若存在请直接写出点P的坐标.

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