Question

如图在平面直角坐标系中，M为x轴上一点，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P为

BC

上的一个动点，CQ平分∠PCD交AP于Q，A（-1，0），M（1，0）．
（1）求C点坐标；
（2）当点P在

BC

上运动时，线段AQ的长是否改变？若不变，请求出其长度；若改变，请说明理由．（提示：连接AC）．
（3）当点P在

BC

上运动时，是否存在这样的点P，使CQ所在直线经过点M？若存在请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）连接MC，由A、M的坐标可得出OA、OM、以及MA的值，再在Rt△OCM中，OC=

3

，从而求出点C的坐标；
（2）作辅助线，连接AC，根据圆周角推论，等弧所对的圆周角相等，可得：∠ACD=∠P，又CQ平分∠OCP，可得：∠PCQ=∠OCQ，故：∠ACD+∠OCQ=∠PCQ+∠P，即∠ACQ=∠AQC，所以AQ=AC=2为定值；
（3）假设存在这样的点P满足条件，则点C、Q、M三点共线，所以CM平分平分∠PCD．由特殊角的三角形函数值求得∠OCM=30°，则易求∠DCP=60°．据此可以求得点P的坐标．

解答：解：（1）如图1，连接MC．
∵A（-1，0），M（1，0），
∴OA=OM=1，MA=CM=2．
在Rt△OCM中，OM=1，CM=2，
根据勾股定理得：OC=

CM2-OM2

=

3

，
∴点C的坐标是（0，

3

）；

（2）如图1，连接AC．当P点运动时，线段AQ的长度不改变．理由如下：
由垂径定理知：

AC

=

AD

，
∴∠P=∠ACD，
∵CQ平分∠PCD，
∴∠P+∠PCQ=∠ACD+∠DCQ，
即：∠AQC=∠ACQ，
∴AQ=AC．
在Rt△OCA中，OC=

3

，OA=1，
∴AC=2．即线段AQ的长度为2．

（3）当点P在

BC

上运动时，存在这样的点P，使CQ所在直线经过点M．理由如下：
假设当点P在

BC

上运动时，存在这样的点P，使CQ所在直线经过点M．则点C、Q、M三点共线，
∵CQ平分∠PCD，
∴CM平分平分∠PCD．
在直角△OCM中，OM=1，OC=

3

，则tan∠OCM=

OM

OC

=

3

3

，
∴∠OCM=30°，
∴∠MCP=∠MPC=30°．
∴∠CMP=180°-2×30°=120°，
∴∠AMC=60°．
又∵∠APC=

1

2

∠AMC=30°，
∴∠APC=∠MPC，则点M、Q重合，即P与点B重合，
∴AP=4，
∴AQ=AM=2，这与线段AQ的长是2相一致，
∴当点P在

BC

上运动时，存在这样的点P，使CQ所在直线经过点M，此时P（3，0）．

点评：本题考查圆的综合题．解此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．