Question

7．如图，顶点为A的抛物线y=a（x+2）²-4交x轴于点B（1，0），连接AB，过原点O作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD．
（1）求抛物线的解析式、直线AB的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．
问题一：当t为何值时，△OPQ为等腰三角形？
问题二：当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小？并求此时PQ的长．

Answer 1

分析 （1）把点B坐标代入抛物线解析式即可求出a的值，写出顶点A的坐标，运用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）问题一，先用t表示OQ，OP的长度，再分类列出方程求解即可得出t的值，问题二：写出四边形面积关于t的二次函数，求最大值即可．

解答 解：（1）由顶点为A的抛物线y=a（x+2）²-4交x轴于点B（1，0）可得：
0=a（1+2）²-4，解得：a=$\frac{4}{9}$，
∴抛物线的解析式：$y=\frac{4}{9}（x+2）^{2}-4$，
顶点A（-2，-4），
设直线AB：y=bx+k，带入点A，B两点坐标得：$\left\{\begin{array}{l}{-4=-2b+k}\\{0=b+k}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{4}{3}}\\{k=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式：y=$\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$，
（2）如图：

∵OD∥AB，所以得直线OD：y=$\frac{4}{3}x$，
∵AD∥x轴，解得点D（-3，-4），
解得OD=5，tan∠COD=$\frac{4}{3}$，sin∠COD=$\frac{4}{5}$，cos∠COD=$\frac{3}{5}$，
把y=0带入抛物线解析式得：0=$\frac{4}{9}（x+2）^{2}-4$，
解得：x=1，或x=-5，
所以点C（-5，0），
∴OC=5，
由2t≤5，得t≤2.5，
OP=t，OQ=5-2t，
当OP=OQ时，有：t=5-2t，解得t=$\frac{5}{3}$，
当OQ=QP时，有：t=2（5-2t）×$\frac{3}{5}$，解得t=$\frac{30}{17}$，
当QP=OP时，有：5-2t=2t×$\frac{3}{5}$，解得t=$\frac{25}{16}$，
综上所述，当t为$\frac{5}{3}$，$\frac{30}{17}$，$\frac{25}{16}$时，△OPQ为等腰三角形；
四边形CDPQ的面积=S_△QCD-S_△OQP=$\frac{1}{2}$×5×4-$\frac{1}{2}$×（5-2t）×t×$\frac{4}{5}$=$\frac{4}{5}{t}^{2}-2t+10$，
所以当t=$-\frac{-2}{2×\frac{4}{5}}$=$\frac{5}{4}$时，四边形CDPQ的面积有最小值，
此时，OQ=$\frac{5}{2}$，OP=$\frac{5}{4}$，sin∠COD=$\frac{4}{5}$，cos∠COD=$\frac{3}{5}$，
可求得PQ=$\frac{\sqrt{65}}{4}$．

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式，会分类等腰三角形的问题，会构造二次函数解解决面积的最值问题，会解直角三角形是解题的关键．