Question

2．已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点D（1，3），并经过点A（X₀，0），2≤X₀≤6，其中a、b、c为常数，
（1）求常数a的取值范围；
（2）若等腰三角形△DEF的E、F在抛物线上，DE=DF，且△DEF的面积为-8a，且EF到x轴的距离等于2，求该抛物线的解析式；
（3）若a=-1，抛物线与y轴于C点，B（2，0），P是线段OB上的动点，把射线CP逆时针旋转45°成为射线CQ，在射线CQ、CP上是否存在点M、N使得BM+MN+NB最小？如果存在，当使得BM+MN+NB最小时，求由BM、MN、NB组成的三角形面积的最大值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线为y=a（x-1）²+3，当抛物线经过A（2，0）或（6，0）时求出a的值即可确定a的范围．
（2）根据条件可以知道F（1-8a，2）代入设抛物线为y=a（x-1）²+3即可求出a．
（3）作点B关于直线CQ的对称点B′，点B关于直线CP的对称点B″，连接B′B″分别交CQ、CP于点M、N，此时BM+MN+BN最小，通过证明这个最小值是定值为4，然后证明△BMN是直角三角形，题目转化为求周长为4的直角三角形的面积的最大值了，利用不等式的性质可以解决．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c的顶点D（1，3），可以设抛物线为y=a（x-1）²+3，
当经过A（2，0）时，得到a=-3，
当经过A（6，0）时，得到a=-$\frac{3}{25}$，
∴-3≤a≤-$\frac{3}{25}$．
（2）∵△DEF的面积为-8a，且EF到x轴的距离等于2，
∴$\frac{1}{2}$•EF•1=-8a，
∴EF=-16a，
∴F（1-8a，2）代入抛物线为y=a（x-1）²+3，
∴2=64a³+3
a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线为y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+3．
（3）存在．
如图作点B关于直线CQ的对称点B′，点B关于直线CP的对称点B″，连接B′B″分别交CQ、CP于点M、N．
此时BM+MN+BN最小，
∵∠MCB=∠MCB′，∠NCB=∠NCB″，CB=CB′=CB″=2$\sqrt{2}$，NB=NB″，MB=MB′，
∴∠B′CB″=2∠MCN=2×45°=90°，B′B″=$\sqrt{2}$CB′=4，
∴BM+NB+MN的最小值=4．
∵∠B′=∠B″=45°，
∴∠CBM=∠CBN=45°，
∴∠MBN=90°，
∴MN²=BM²+BN²，MN+BM+BN=4，
设BM=a，BN=b，MN=c，
∵a+b+c=4，
∴a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=4，
∵a+b≥2$\sqrt{ab}$，a²+b²≥2ab，
∴2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$≤4，
∴$\sqrt{ab}$≤2（2-$\sqrt{2}$）
∴ab≤24-16$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$ab≤12-8$\sqrt{2}$，
∴由BM、MN、NB组成的三角形面积的最大值为12-8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二次函数、对称的性质、三角形的面积、最小值问题、勾股定理等知识，学会利用对称找到BM+MN+NB最小时的位置，利用不等式性质确定周长为定值的直角三角形面积的最大值，是这个题目的难点．