Question

如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1=∠2．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BOC=120°，AB=4cm，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）因为∠1=∠2，所以BO=CO，2BO=2CO，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO，BO=OD，则可证AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；
（2）在△BOC中，∠BOC=120°，则∠1=∠2=30°，AC=2AB，根据勾股定理可求得BC的值，则四边形ABCD的面积可求．

解答：（1）证明：∵∠1=∠2，
∴BO=CO，即2BO=2CO．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=OD，
∴AC=2CO，BD=2BO，
∴AC=BD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；

（2）解：在△BOC中，∵∠BOC=120°，
∴∠1=∠2=（180°-120°）÷2=30°，
∴在Rt△ABC中，AC=2AB=2×4=8（cm），
∴BC=

82-42

=4

3

（cm）．
∴四边形ABCD的面积=4

3

×4=16

3

(cm2)．

点评：此题把矩形的判定、勾股定理和平行四边形的性质结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．解决本题的关键是读懂题意，得到相应的四边形的各边之间的关系．