[题目]如图.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A.B(3.0)．下列结论:①2a﹣b=0,②(a+c)2＜b2,③当﹣1＜x＜3时.y＜0,④当a=1时.将抛物线先向上平移2个单位.再向右平移1个单位.得到抛物线y=2﹣2．其中正确的是( )A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：①2a﹣b=0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣2）2﹣2．其中正确的是（　　）

A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④

【答案】D

【解析】根据二次函数图象与系数之间的关系即可求出答案．

①图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），

∴二次函数的图象的对称轴为x==1，

∴=1，

∴2a+b=0，故①错误；

②令x=﹣1，

∴y=a﹣b+c=0，

∴a+c=b，

∴（a+c）2=b2，故②错误；

③由图可知：当﹣1＜x＜3时，y＜0，故③正确；

④当a=1时，

∴y=（x+1）（x﹣3）=（x﹣1）2﹣4

将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，

得到抛物线y=（x﹣1﹣1）2﹣4+2=（x﹣2）2﹣2，故④正确；

故选：D．

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∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

又∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，

∴∠ACD+∠CAD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE，∠BCE=∠CAD．

在△ACD和△CBE中，由，

∴△ACD≌△CBE（ASA）．

设点B的坐标为（m，﹣）（m＜0），则E（0，﹣），点D（0，3﹣m），点A（﹣﹣3，3﹣m），

∵点A（﹣﹣3，3﹣m）在反比例函数y=﹣上，

，解得：m=﹣3，m=2（舍去）．

∴点A的坐标为（﹣1，6），点B的坐标为（﹣3，2），点F的坐标为（﹣1，2），

∴BF=2，AF=4，

故答案为：2．

【点睛】

过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥BE轴于点F,根据角的计算得出“∠ACD=∠CBE，∠BCE=∠CAD”，由此证出△ACD≌△CBE；再设点B的坐标为（m，﹣），由三角形全等找出点A的坐标，将点A的坐标代入到反比例函数解析式中求出m的值，将m的值代入A，B点坐标即可得出点A，B的坐标，并结合点A，B的坐标求出点F的坐标，利用勾股定理即可得出结论．