Question

如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，且BE=

1

3

BC，连接AE、AC，又BH⊥AE于点F，交AC于点G，交DC于点H．
（1）求证：AB²=AF•AE；
（2）求

AF

EF

的值及tan∠EAC的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）证明△ABF∽△AEB，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；
（2）设BE=x，则EC=3x，BC=4x，则正方形ABCD的边长都是4x，根据相似三角形的性质以及勾股定理，利用x表示出AF和EF的长，即可求得二者的比值；作CI⊥AE于点I，根据△ABE∽△CIE，利用x表示出CI和AI的长，即可求得三角函数值．

解答：（1）证明：∵BH⊥AE，
∴∠BFE=90°，
又∵正方形ABCD中，∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠BFE，
又∵∠BAF=∠BAF，
∴△ABF∽△AEB，
∴

AB

AE

=

AF

AB

，即AB²=AF•AE；

（2）解：设BE=x，则EC=3x，BC=4x，则正方形ABCD的边长都是4x，
∵△ABF∽△AEB，
∴

AF

BF

=

AB

BE

=

4x

x

=4，
设BF=y，则AF=4y，
在直角△ABF中，根据勾股定理得：y²+（4y）²=（4x）²，
解得：y=

4 17

17

x，则AF=

16 17

17

，BF=

4 17

17

，
又∵在直角△BEF中，

BF

EF

=

AB

BE

=4，
∴EF=

17

17

，
则

AF

EF

16 17 17

17 17

=16；
在直角△ABE中，AE=

AB2+BE2

=

(4x)2+x2

=

17

x，
作CI⊥AE于点I．
∵在△ABE和△CIE中，∠ABE=∠I，∠AEB=∠CEI，
∴△ABE∽△CIE，
∴

EI

BE

=

CI

AB

=

AE

CE

，即

EI

x

=

CI

4x

=

17 x

3x

=

17

3

，
∴EI=

17

3

x，CI=

4 17

3

x，
则AI=

17

x+

17

3

x=

4 17

3

，
∴tan∠EAC=

CI

AI

=

4 17 3

4 17 3

=1．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，正确作出辅助线，利用x表示各条线段的长度是关键．