Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=3BE，CE=

10

BE，∠DCE=45°，求△BCE与△ADE的面积之比．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：过C作CF⊥AD于F，延长AF到G，使FG=BE，连接CG，根据勾股定理的逆定理求出∠B=90°，求出∠A=∠B=90°，得出四边形ABCF是正方形，根据正方形的性质得出AF=CF=BC=AB=3BE，∠BCF=90°，证△CBE≌△CFG，推出∠1=∠2，CG=CE，求出∠1+∠3=∠DCE，证△DCE≌△DCG，推出DE=DG，即DE=DF+BE，设DF=x，DE=BE+x，在Rt△AED中，由勾股定理得出（x+BE）²=AE²+AD²，求出x=

3

2

BE，求出AD=

3

2

BE，根据三角形的面积公式求出即可．

解答：解：过C作CF⊥AD于F，延长AF到G，使FG=BE，连接CG，

∵AB=BC=3BE，CE=

10

BE，
∴在△CBE中，BE²+BC²=CE²，
∴∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∵CF⊥AD，
∴∠CFA=90°，
∴四边形ABCF是正方形，
∴AF=CF=BC=AB=3BE，∠BCF=90°，
在△CBE和△CFG中，

BC=CF ∠B=∠CFG=90° BE=FG

，
∴△CBE≌△CFG（SAS），
∴∠1=∠2，CG=CE，
∵∠DCE=45°，
∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°-45°=45°=∠DCE，
即∠DCG=∠DCE，
在△DCE和△DCG中，

DC=DC ∠DCE=∠DCG CE=CG

，
∴△DCE≌△DCG（SAS），
∴DE=DG，
即DE=DF+BE，
设DF=x，DE=BE+x，
在Rt△AED中，由勾股定理得：（x+BE）²=AE²+AD²，
则（x+BE）²=（2BE）²+（3BE-x）²，
解得：x=

3

2

BE，
∴AD=3BE-

3

2

BE=

3

2

BE，
∴

S△BCE

S△ADE

=

1 2 ×BE×BC

1 2 ×AD×AE

=

BE×3BE

3 2 BE×2BE

=1，
即△BCE与△ADE的面积之比是1：1．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，正方形的性质和判定的应用，解此题的关键是正确作出辅助线后求出AD=

3

2

BE，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等，难度偏大．