Question

如图，Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到点B，C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠CDE+∠DEC=135°．
∵∠ADE=45°，
∴∠CDE+∠ADB=135°，
∴∠DEC=∠ADB，
∴△ABD∽△DCE；

（2）∵BD=x，AE=y，AB=AC=2，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得到：BC=2
∴CD=BC-BD=2-x，CE=AC-AE=2-y，
∵△ABD∽△DCE，
∴，
即，
即y=（0＜x＜2）．
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，再根据等量代换得到∠DEC=∠ADB，然后根据两对对应角相等的两三角形相似，即可得证；
（2）设BD为x，AE=y，分别表示出CD和CE，根据（1）得到相似三角形的对应边的比相等，列出x与y的函数关系式即可．
点评：此题综合考查了相似三角形的判定及性质、能够运用数形结合的思想建立函数关系式．