Question

17．已知△ABC是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则△ABC的面积是32或8．

Answer 1

分析 如图（1）和（2），由等腰三角形的外心在三角形的底边的高上，根据勾股定理求出OD的长，进一步求出BD的长，根据三角形的面积公式即可求出答案．

解答 解：连接OB交AC于D，连接OC，

∵圆O是等腰三角形的外接圆，O是外心，
∴BD⊥AC，AD=DC=4，有两种情况：
（1）如图（1）：OC=5，由勾股定理得：OD=$\sqrt{O{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
即：BD=3+5=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×8×8=32；
（2）如图（2）：同法可求OD=3，
BD=5-3=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×8×2=8；
故答案为：32或8．

点评 本题主要考查了三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点，解此题的关键是求出高BD的长度．此题用的数学思想是分类讨论思想．题目较好．