Question

6．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD，求证：
（1）△BEF为等腰直角三角形；
（2）∠ADC=∠BDG．

Answer 1

分析 （1）连接DE，根据轴对称和线段垂直平分线性质求出CF=EF，CD=DE，推出CD=ED=BD，根据直角三角形的判定推出△BEF是直角三角形，求出∠AFC=∠BEC=∠ACD=90°，∠CAF=∠ECB，根据全等三角形的判定定理得出△CAF≌△ECB，根据全等三角形的性质得出CF=BE即可；
（2）作BM⊥BC交CE的延长线于M，根据ASA推出△ACD≌△CBM，根据全等三角形的性质得出∠ADC=∠M，CD=BM，根据SAS推出△DBG≌△MBG，求出∠M=∠BDG，即可得出答案．

解答 证明：（1）如图1，连接DE，

∵点E与点C关于直线AD对称，
∴AD垂直平分EC，
∴CF=EF，CD=DE，
∵D为BC的中点，
∴CD=ED=BD，
∴∠CEB=90°，
即△BEF是直角三角形，
∵AD垂直平分CE，
∴∠AFC=∠BEC=∠ACD=90°，
∴∠CAF+∠ACF=90°，∠ECB+∠ACF=90°，
∴∠CAF=∠ECB，
在△CAF和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠CEB}\\{∠CAF=∠ECB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△CAF≌△ECB，
∴CF=BE，
∵EF=CF，
∴EF=BE，
∴△BEF是等腰直角三角形；

（2）如图2，作BM⊥BC交CE的延长线于M，

则∠ACD=∠CBM=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠MBG=∠DBG=45°，
在△ACD和△CBM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCM}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠CBM}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△CBM（ASA），
∴∠ADC=∠M，CD=BM，
∵CD=BD，
∴BD=BM，
在△DBG和△MBG中
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BG}\\{∠DBG=∠MBG}\\{BD=BM}\end{array}\right.$
∴△DBG≌△MBG（SAS），
∴∠M=∠BDG，
∵∠ADC=∠M，
∴∠ADC=∠BDG．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，轴对称性质，线段垂直平分线性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应角相等，对应边相等．