Question

点M是四边形ABCD的边BC的中点，∠AMD=120°．
求证：AB++CD≥AD．

Answer 1

证明：如图，作出点B关于AM的对称点B′，点C关于MD的对称点C′，连接AB′、B′C′、C′D、B′M、C′M，
根据轴对称的性质可得AB′=AB，BM=B′M，CM=C′M，C′D=CD，∠AMB=AMB′，∠DMC=∠DMC′，
∵∠AMD=120°，
∴AMB+∠DMC=180°-∠AMD=180°-120°=60°，
∴∠B′MC′=∠AMD-（∠AMB′+∠DMC′）=120°-60°=60°，
∵点M是四边形ABCD的边BC的中点，
∴BM=CM，
∴B′M=C′M，
∴△B′C′M是等边三角形，
∴B′C′=BC，
所有，①当点B′、C′在AD上时，AB+BC+CD=AD，
②当点B′、C′不在AD上时，根据连接两点的所有线中，线段最短，AB+BC+CD＞AD，
综上，AB+BC+CD≥AD．
分析：根据对称性，作出点B关于AM的对称点B′，点C关于MD的对称点C′，再连接AB′、B′C′、C′D、B′M、C′M，根据轴对称的性质以及∠AMD=120°可以证明△B′C′M是等边三角形，然后根据连接两点的所有线中，线段最短证明．
点评：本题考查了轴对称的性质，两点间线段最短的性质，作出对称点构造出图形更形象直观，注意证明得到△B′C′M是等边三角形非常关键．