Question

14．已知直线y=kx+m（k＜0）与抛物线y=x²+bx+c相交于抛物线的顶点P和另一点Q
（1）若点P（2，-c），Q的横坐标为-1．求点Q的坐标；
（2）过点Q作x轴的平行线与抛物线y=x²+bx+c的对称轴相交于点E，直线PQ与y轴交于点M，若PE=2EQ，c=$\frac{{b}^{2}-4}{4}$（-4＜b≤0），求△OMQ的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴公式求出b，再将P代入抛物线得到c，求出抛物线解析式，根据Q点的横坐标即可解决问题．
（2）由题意可以假设直线PQ为y=-2x+b′，利用方程组求出点Q坐标，分两种情形①-1≤b≤0时，②-4＜b∠-1时，构建二次函数，根据二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）由题意：-$\frac{b}{2a}$=2，a=1，
∴b=-4，∴抛物线为y=x²-4x+c，将P（2，-c）代入得到，-c=4-8+c，
∴c=2，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+2，
∵点Q横坐标为-1，
∴x=-1时，y=7
∴点Q坐标为（-1，7）．

（2）由题意可以假设直线PQ为y=-2x+b′，
∵顶点P（-$\frac{b}{2}$，-1），代入上式得到：-1=b+b′，
∴b′=-1-b，
∴直线PQ为y=-2x-1-b，∴点M坐标（0，-1-b），
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-1-b}\\{y={x}^{2}+bx+\frac{{b}^{2}-4}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{b}{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{b}{2}}\\{y=3}\end{array}\right.$
∴点Q坐标（-2-$\frac{b}{2}$，3），
∵-4＜b≤0，
①-1≤b≤0时，
∴S_△OQM=$\frac{1}{2}$•（2+$\frac{b}{2}$）•（1+b）=$\frac{1}{4}$（b+$\frac{5}{2}$）²-$\frac{9}{16}$，
∴b=0时，△OQM的面积最大，最大值为1．
②-4＜b∠-1时，
S_△OQM=$\frac{1}{2}$•（2+$\frac{b}{2}$）•（-1-b）=-$\frac{1}{4}$（b+$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{16}$，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴b=-$\frac{5}{2}$时，△OQM的面积最大，最大值为$\frac{9}{16}$，
综上所述，△OQM的面积的最大值为1．

点评 本题考查二次函数的性质、待定系数法，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会利用方程组求交点坐标，题目比较难，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．